Основы синтеза передаточных функций каскадов на операционных усилителях

1. Операционные усилители.

Операционные усилители (ОУ) - это интегральные усилители постоянного тока с дифференциальным входом, большим коэффициентом усиления (КУ) и входным сопротивлением.

В идеале ОУ должен иметь бесконечные КУ и входное сопротивление и не входить в насыщение. Современные ОУ близки по первым двум характеристикам к идеалу, но режима насыщения, к сожалению, избежать невозможно, не нарушая законов ©Кирхгофа. Реальный ОУ в настоящее время имеют входное сопротивление от 1 МОм до 1 ГОм, КУ - 10000...100000, и можно сказать, что эти величины стремятся к бесконечности, а их характеристики близки к идеальным.
В этой главе мы представим реальный ОУ как идеальный, так как нас пока не интересуют ни частотные, ни температурные характеристики. Для начала примем несколько утверждений:

   1. Т.к. КУ стремится к бесконечности, то любое бесконечно малое
      изменение разности входных напряжений приводит к бесконечно
      быстрому изменению выходного сигнала.
   2. ОУ не входит в режим насыщения.
   3. Входной ток ОУ равен 0.
 

Таким образом, мы освобождаем рассматриваемую цепь от влияния динамических и статических параметров ОУ. Т.е. комплексное сопротивление ОУ (см. ниже) стремится к бесконечности.

Оглавление

2. Принцип обратной связи.

Для того, чтобы понять принцип отрицательной обратной связи (а именно ООС в основном используется в каскадах на ОУ), рассиотрим схему на рисунке.

Положительная ОС используется в основном для создания генераторов, поэтому здесь не рассматривается.
Итак, подаём на вход напряжение U1. Для простоты предположим, что выход схемы не нагружен. Т.к. входное сопротивлене ОУ бесконечно, в начальный момент времени можем получить

U0 = U1 (?..)

Ловким движением достаю кролика из шляпы: а вот и нет! Что же происходит с U0?
Так же мгновенно, как U1, увеличивается U2, но с обратным знаком. Теперь см. выше - приращение выходного напряжения существует, пока разность напряжения на входах ОУ ненулевая. Понимаю, нет ни малейшего желания вспоминать старика Кирхгофа, но всё-таки потерпите:

	U1/R1 + U2/R2 = 0 ( закон Кирхгофа для токов )
	U0 = 0

Именно при этом условии прирост напряжения U2 остановится. А произойдёт это, когда:

U2 = - (U1 R2)/R1

Из этого получим КУ схемы:

K = - R2/R1

U2 = K U1

Вот вам и сложная наука электроника! Это один важный вывод из применения закона Кирхгофа. Второй заключается в том, что

U0 = 0 ( всегда )

В качестве "лирического отступления" скажу, что не нулю, а потенциалу неинвертирующего входа ОУ. И все остальные потенциалы тоже даны относительно того же входа. Это уже неявное применение метода узловых потенциалов - берём один из потенциалов схемы и приравниваем его к нулю.
Вывод: упростив представление ОУ как схемотехнического элемента (см. п. 1), мы рассмотрели один из основополагающих принципов схемотехники на ОУ - принцип отрицательной обратной связи (ООС). Применение упрощённой модели позволило нам избежать утомительных комплексных переменных и дифференциальных уравнений. Пока избежать...

Оглавление

3. Цепи обратной связи.

Модель, предложенная выше - скорее философская, чем математическая - идеальный ОУ, идеальный сигнал, мгновенные реакции и т.д. Но от рассмотрения реального ОУ мы всё-таки пока воздержимся, а вот математики прибавим, держитесь.
Для начала обозначим:

   1. Как сигнал, так и сопротивления элементов могут быть
      функциями времени.
      
   2. Для записи выражений в этом пункте используются
      не сами функции времени, а их изображения по Лапласу.
      Подробнее об изображениях можно узнать в любом математическом 
      справочнике или в литературе, указанной ниже.
 

Напомню, что собой представляет оператор p в изображении:

Истинный смысл его, конечно же далёк от такой упрощённой записи, но при переходе от операторной записи к комплексной преобразования выглядят именно так.
А теперь настало время второго "фокуса":

U1(p)/R1(p) + U2(p)/R2(p) = 0 ( закон Кирхгофа для токов в изображениях R(t) и U(t) )

Весь фокус в том, что порядки производных и интегралов в дифференциальных и интегральных уравнениях сводятся к степеням оператора p в изображениях. Это даёт возможность свести дифференциальные уравнения к алгебраическим. И это оправдано тем, что основную роль в описании физических процессов играют корни характеристических ( т.е. алгебраизированных дифференциальных ) уравнений. Именно по ним, например, определяют устойчивость схемы от самовозбуждения.
Теперь то, ради чего мы так долго самоистязались. Вот и определение, ради которого, можно сказать, было сказано всё до этого:

U2(p) = - (U1(p) R2(p))/R1(p)

W(p) = - R2(p)/R1(p)

U2(p) = W(p) U1(p)

Величина W(p) - передаточная функция усилительного каскада, операторный аналог КУ.

Оглавление

Список литературы

1. Тетельбаум И.М., Шнейдер Ю.Р. Практика аналогового моделирования динамических систем: Справочное пособие. М.: Энергоатомиздат, 1987.

2. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. В 2 тт. Пер. с англ. М., Мир, 1988.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М., Наука, 1972.

4. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. Пер. с нем., М., Наука, 1972.

Оглавление

© Берёзкин С.Е., 2001 г.

stlab@rambler.ru